Primzahlen sind das Sperrgut der Mathematik. 

• Schon Euklid wusste, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
• Der Beweis dafür ist recht einfach. Suche nach diesem Beweis!

Chebychev said it, and I'll say it again,
There's always a prime between  n  and  2n.

• Prüfe an einigen Beispielen nach, ob diese Aussage stimmt. (z.B. n = 3 ; 2n = 6; dazwischen gibts die Primzahl p = 5)
• Finde den Beweis dazu.

Was sind eigentlich Mersennesche Primzahlen?

• Als Mersennesche Primzahlen werden die Primzahlen bezeichnet, die sich in der Form 2^p -1 schreiben lassen.
  2¹ -1 = 1
  2² -1 = 3 ist z.B. eine solche nach dem französichen Mönch Marin Mersenne (1588-1648) benannte Primzahl.
  2³ -1 = 7
  2⁴ -1 = 15 = 3*5 , eine Zahl nach demselben Bauprinzip, ist ein weiteres Beispiel für eine Nichtprimzahl der Form 2^p -1
  2⁵ -1 = 31
  2⁶ -1 = 63 = 3*3*9
  2⁷ -1 = 127
  2⁸ -1 = 255 = 5*51
  2⁹ -1 = 511 = 7*73
  2¹⁰ -1 = 1023 = 3*11*31
  2¹¹ -1 = 2047 = 23*89
  ...
  Wir sehen, dass die Zahlenwerte von 2^p -1 rasant wachsen. Was sehen wir noch in der Folge dieser ersten Zahlen 2^p -1 ?
  Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Mersennesche Primzahlen gibt.
• Im Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) wird weltweit nach Mersenneschen Primzahlen gesucht.
  Einen interessanten Artikel dazu gibt es in der c't 2001 26 051 darin wird auch kurz der Lucas-Lehmer-Test beschrieben.
• Hier hab ich eine MuPAD Datei mit einem Programm zum Test auf Primzahleigenschaft.
• Zu GIMPS gibt es die Internet-Seite www.mersenne.org.  
• www.eff.org/coop-award/   Internetgestütze Suche nach grossen Primzahlen
• www.octocad.demon.co.uk/mersenne/prime.htm Primzahlsuche

Was sind eigentlich Fermatsche Primzahlen?

• Fermatsche Primzahlen, die bei der Theorie der Kreisteilung eine Rolle spielen, sind von der Form  2^k +1. Carl-Friedrich Gauß zeigte 1796 im Alter von 19 Jahren, dass ein reguläres n-Eck nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn n eine Fermatsche Primzahl ist.
  2¹ +1 = 3 ist z.B. eine solche Primzahl und ein jeder weiss, dass ein reguläres Dreieck mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.
  2² +1 = 5
  2³ +1 = 9 ist keine Primzahl; versuche ein 9-Eck zu konstruieren. Es wird dir nicht gelingen.
  2⁴ +1 = 17
  2⁵ +1 = 33
  2⁶ +1 = 65
  2⁷ +1 = 129
  2⁸ +1 = 257 ist eine weitere Fermatsche Primzahl, danach kommt eine grosse Lücke bis hin zu
  ...
  2³² +1 = 65537 und bisher ist nicht bekannt, ob es unendlich viele solcher Fermatschen Primzahlen gibt.
  ...
• Betrachte die Exponenten p und formuliere eine Aussage dazu.
• Finde weitere Informationen zu Fermatschen Primzahlen

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